Определение длины дуги. Дуга определение
Определение длины дуги
Часть фигуры, которая образует окружность, точки которой равноудалены, называется дугой. Если из точки центра окружности, провести лучи в точки, совпадающие с концами дуги, будет образован её центральный угол.
Определение длины дуги
Расчет длины дуги производится по следующей формуле:
r – радиус окружности
α – угол
L – длина дуги
π – 3.14
Расчет длины дуги
Задача:
Нужно определить длину дуги окружности радиусом 10 сантиметров при центральном угле, равном 85°.
Решение:Воспользуемся формулой
где L – искомая длина дуги, π = 3,14, r – радиус окружности, α – центральный угол.
| L | = |
3,14 × 10 × 85 180° |
= |
14,82 |
Длина дуги окружности равна 14,82 сантиметра.
В элементарной геометрии под дугой понимается подмножество окружности, расположенной между двумя расположенными на ней точками. На практике решать задачи по определению ее длины инженерам и архитекторам приходится достаточно часто, поскольку этот геометрический элемент широко распространен в самых разнообразных конструкциях.
Пожалуй, первым, перед кем встала эта задача, были древние зодчие, которым так или иначе приходилось определять этот параметр для сооружения сводов, широко используемых для перекрытия промежутков между опорами в круглых, многоугольных или эллиптических зданиях. Если внимательно присмотреться к дошедшим до наших дней шедеврам древнегреческого, древнеримского и особенно арабского зодчества, то можно заметить, что в их конструкциях дуги и своды встречаются чрезвычайно часто. Творения современных архитекторов ими не так богаты, но эти геометрические элементы наличествуют, конечно же, и в них.
Длину различных дуг необходимо рассчитывать при сооружении автомобильных и железных дорог, а также автодромов, причем во многих случаях от правильности и точности вычислений во многом зависит безопасность движения. Дело в том, что многие повороты магистралей с точки зрения геометрии представляют собой именно дуги, и по движению по ним на транспорт воздействуют различные физические силы. Параметры их результирующей во многом определяются длиной дуги, а также ее центральным углом и радиусом.
Конструкторам машин и механизмов приходится вычислить длины различных дуг для правильной и точной компоновки составных частей различных агрегатов. В данном случае ошибки в расчетах чреваты тем, что важные и ответственные детали будут неправильно взаимодействовать друг с другом и механизм просто не сможет функционировать так, как планируют его создатели. В качестве примеров конструкций, изобилующих такими геометрическими элементами, как дуги, можно привести двигатели внутреннего сгорания, коробки переключения передач, дерево- и металлообрабатывающее оборудование, кузовные элементы легковых и грузовых автомобилей и т.д.
Дуги достаточно широко встречаются в медицине, в частности, в стоматологии. Например, они используются для исправления неправильного прикуса. Корректирующие элементы, называемые брекетами (или брекет-системами) и имеющие соответствующую форму, изготавливаются из специальных сплавов, и устанавливаются таким образом, чтобы изменить положение зубов. Само собой разумеется, что для того, чтобы лечение проходило успешно, эти дуги должны быть очень точно рассчитаны. Кроме того, дуги очень широко используются в травматологии, и, пожалуй, самым ярким примером тому является знаменитый аппарат Илизарова, изобретенный российским врачом в 1951 году и чрезвычайно успешно используемый по сей день. Неотъемлемыми его частями являются металлические дуги, снабженные отверстиями, через которые продеваются специальные спицы, и являющиеся основными опорам всей конструкции.
simple-math.ru
Дуга (геометрия) - это... Что такое Дуга (геометрия)?
Дуга — связное подмножество окружности.
Свойства
*Длина дуги L радиуса R с центральным углом alpha, измеренным в радианах, вычисляется по формуле: L=Ralpha
Wikimedia Foundation. 2010.
- WASD
- Улица Воздвиженка
Смотреть что такое "Дуга (геометрия)" в других словарях:
Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… … Википедия
Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференциально геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной … Математическая энциклопедия
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 … Математическая энциклопедия
Сферическая геометрия — математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении… … Большая советская энциклопедия
Хорда (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда. 1 секущая, 2 хорда … Википедия
СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математич. дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек рую окружность; если секущая… … Математическая энциклопедия
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — геодезиче ская, геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный … Математическая энциклопедия
Декарт Рене — (Descartes) (латинизир. Картезий; Cartesius) (1596 1650), французский философ, математик, физик и физиолог. С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввёл многие алгебраические… … Энциклопедический словарь
Жорданова кривая — Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия
dic.academic.ru
Как определить радиус дуги или сегмента круга и найти центр
Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга
Изначально это выглядит так:
Рисунок 463.1. а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.
Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.
Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье "Расчет арочной перемычки", поэтому здесь лишь приведу основные формулы:
tg(a/4) = 2Н/L (278.1.2)
тогда
а/4 = arctg(2H/L)
R = H/(1 - cos(a/2)) (278.1.3)
Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.
А теперь поговорим о недостатках.
Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад - для того, чтобы напомнить формулы - есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.
Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.
Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.
В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.
Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)
Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.
Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.
Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.
Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) рассматриваемой дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента.
Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше - то искомый центр дуги выше на прямой.
Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.
Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.
Теоретически это выглядит примерно так:
Рисунок 463.2. Определение центра дуги методом последовательных приближений.
А на практике примерно так:
Фотография 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.
Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.
doctorlom.com
